TUGAS DAN JAWABAN
STRUKTUR ALJABAR 1 ( Tugas Sebelum UAS semester 5 )
Misal G suatu grup, a b c dan x merupakan anggota dari G, nyatakan x dalam a, b dan c bila : ax2=xbc dan ax=xa.
Jawab :
ax2 = xbc
axx = xbc
xax = xbc ( karena ax=xa )
x^(-1)xax = x^(-1) xbc
uax = ubc ( u identitas )
ax = bc
a^(-1) ax = a^(-1) bc
ux = a^(-1) bc ( u identitas )
x = a^(-1) bc
Periksa apakah grup berikut ini merupakan grup siklik!
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
Jawab :
i1 = i (-i)1 = -i
i2 = -1 (-i)2 = i2 = -1
i3 = (i2)(i) =-i (-i)3= (-i)2(-i) =(-1) (-i) =i
i4 =(i2) (i2)=(-1)(-1)=1 (-i)4 =(-i)2(-i)2=(-1)(-1)=1
maka A dapat dinyatakan sebagai berikut :
A = {1, -1, i, -i}
= { i4, i2, i1, i3}
= {(-i)4, (-i)2, (-i)3, (-i)1}
Jadi A merupakan grup siklik.
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
Jawab :
11=1 51= 5
12= 1+1= 2 52=5+5=4
13= 1+1+1=3 53=5+5+5=3
14= 1+1+1+1=4 54=5+5+5+5=2
15=1+1+1+1+1=5 55=5+5+5+5+5=1
16=1+1+1+1+1+1=0 56=5+5+5+5+5+5=0
Maka B dapat dinyatakan sebagai :
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
= { 16, 11, 12, 13, 14, 15}
= {56, 55, 54, 53, 52, 51}
Jadi B merupakan grup siklik.
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
Jawab :
11=1 21=2
12= 1+1= 2 22=2+2=4
13= 1+1+1=3 23=2+2+2=6
14= 1+1+1+1=4 24=2+2+2+2=1
15=1+1+1+1+1=5 25=2+2+2+2+2=3
16=1+1+1+1+1+1=6 26=2+2+2+2+2+2=5
17=1+1+1+1+1+1+1=0 27=2+2+2+2+2+2+2=0
31= 3 41= 4
32= 3+3= 6 42= 4+4 = 1
33= 3+3+3=2 43= 4+4+4 = 5
34= 3+3+3+3=5 44= 4+4+4+4 = 2
35= 3+3+3+3+3=1 45= 4+4+4+4+4 = 6
36= 3+3+3+3+3+3=4 46= 4+4+4+4+4+4 = 3
37= 3+3+3+3+3+3+3=0 47= 4+4+4+4+4+4+4 = 0
51= 5 61= 6
52= 5+5 = 3 62= 6+6 =5
53= 5+5+5 = 1 63= 6+6+6 = 4
54= 5+5+5+5 = 6 64= 6+6+6+6 = 3
55= 5+5+5+5+5 = 4 65= 6+6+6+6+6 = 2
56= 5+5+5+5+5+5 = 2 66= 6+6+6+6+6+6 = 1
57= 5+5+5+5+5+5+5 = 0 67= 6+6+6+6+6+6+6 = 0
Maka C dinyatakan dengan :
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {17, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
= { 27, 24, 21, 25, 22, 26, 23}
= { 37, 35, 33, 31, 36, 34, 32}
= { 47, 42, 44, 46, 41, 43, 45}
= {57, 53, 56, 52, 55, 51, 54}
= { 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61}
Jadi C merupakan grup siklik.
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Jawab :
31= 3
32= 3x3= 4
33= 3x3x3= 2
34= 3x3x3x3= 1
35= 3x3x3x3x3= 3
Maka D dapat dinyatakan sebagai :
D ={ 1, 2, 3, 4}
={ 34, 33,35atau31,32}
Jadi D merupakan grup siklik.
Carilah semua subgroup dari grup :
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Misal G adalah suatu grup dan H⊂ G, H≠∅ Buktikan bahwa H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jawab :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
i). Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jika H subgroup dari G, maka H adalah grup ( Menurut definisi subgroup )
Ambil y∈ H, maka y^(-1)∈H ( karena H grup/aksioma invers)
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H, maka x oy^(-1)∈H ( Aksioma Tertutup )
Jadi terbukti bahwa “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H
ii). Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H, maka H subgroup dari G.
Untuk menyatakan bahwa H subgroup dari G maka harus ditunjukan bahwa H suatu grup dengan operasi yang berlaku dalam G.
Karena H⊂ G dan G suatu grup yang berlaku aksioma asosiatif maka dalam H berlaku aksioma asosiatif. Jadi dalam H berlaku assosiatif.
Ambil a∈ H, maka a oa^(-1)= u∈H. Jadi H memilki identitas.
Ambil u∈ H dan b∈ H maka u ob^(-1)=b^(-1) ∈H. Jadi ∀ b∈ H ∋b^(-1) ∈H.
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H maka x o〖(y〗^(-1))-1= x o y∈H. ( Aksioma Tertutup ) karena dalam H berlaku keempat aksioma grup dan H⊂ G maka H subgroup dari G.
Jadi terbukti bahwa “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”.
Dari i) dan ii) diperoleh “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H dan “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”. Jadi terbukti bahwa “H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H”.
Buktikan bahwa jika ∀ a∈G dan G suatu grup berlaku a2=u ( u identitas ) maka G merupakan grup abelian.
Jawab :
a∈G a2=u
b∈G b2=u
a,b∈G ( a o b )2=u
( a o b )2 = u o u
a o b o a o b = aa o b2
a o b o a o b = a o a o b o b
a-1 o a o b o a o b = a-1 o a o a o b o b ( operasikan a-1∈G masing-masing di sebelah kiri )
b o a o b = a o b o b
b o a o b o b-1 = a o b o b o b-1 ( operasikan b-1∈G masing-masing di sebelah kanan)
b o a = a o b ( Berlaku komutatif )
Karena berlaku komutatif maka G grup abelian.
Buktikan bahwa jika G suatu grup dan n (G)=3, maka G grup abelian.
Jawab :
Misalkan G= {u, a, b}, n(G)=3
A,b,u∈G dan u identitas.
a o b = a ( Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
a o b = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
a o b = u ( Mungkin, jika a = b-1 atau b=a-1)
b o a = a (Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
b o a = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
b o a = u ( Mungkin, jika b=a-1 atau a = b-1)
Dari a o b = u dan b o a = u, maka diperoleh a o b = b o a ( Komutatif )
Terbukti bahwa “ Jika n (G)=3, maka G grup abelian.”
Misal G suatu grup, buktikan bahwa jika H subgroup dari G maka H-1=H ( Keterangan :
H-1={a^(-1)│a∈H}).
Jawab :
Untuk membuktikan H-1=H harus ditunjukan bahwa H-1⊂ H dan H⊂ H-1.
Ambil sebarang X∈ H-1, maka X=a-1 dengan a∈H ( menurut definisi ) karena a∈H dan H subgroup dari G, maka a-1= X∈ H.Jadi jika X∈ H-1 maka X∈ H, hal ini berarti H-1⊂ H...(i)
Ambil sebarang Y∈ H, karena H subgroup dari G maka Y-1∈H, karena Y-1∈H,
maka (Y-1)-1= Y∈ H-1 ( Menurut Definisi ). Jadi jika Y∈ H maka Y∈ H-1,
hal ini berarti H⊂ H-1…..(ii).
Dari (i) dan (ii) diperoleh H-1⊂ H dan H⊂ H-1., hal ini berarti bahwa H-1=H.
Buktikan bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian!
Jawab:
Misalkan G adalah grup siklik dengan generator a. ambil am, an∈ G dan m, n∈ Bilangan bulat.
am o an = am+n
am o an = an+m
am o an = an o am
Jadi terbukti bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian.
Jika G suatu grup, H adalah subgroup dari G. Buktikan bahwa :
Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H.
Bukti :
Dari teorema diatas akan di buktikan :
(i). Jika Ha = H maka a ∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil a ∈ H dan a ∈ G maka u o a = a∈ Ha. a ∈ H dan
Ha = H maka a ∈ H. Terbukti bahwa jika Ha = H maka a ∈ H.
(ii). Jika a ∈ H maka Ha = H.
Untuk menunjukan Ha = H maka harus dibuktikan Ha⊂ H dan H⊂ Ha. Ambil X∈ H maka X=h o a dengan h∈ H. h∈ H, a∈ H dan H subgroup dari G maka h o a = X∈ H.
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ H, hal ini berarti bahwa Ha⊂ H………(*).
Karena a ∈ H dan H⊂G maka a∈G. Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha. Jadi jika a ∈ H maka ∈ Ha, hal ini berarti bahwa H⊂ Ha……..(**).
Dari (*) dan (**) diperoleh Ha⊂ H dan H⊂ Ha sehingga Ha = H.
Terbukti bahwa jika a ∈ H maka Ha = H.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika Ha = H maka a ∈ H” dan “ jika a ∈ H maka Ha = H”. Jadi terbukti bahwa “Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H “.
Ha=Hb bila dan hanya bila a o b-1∈ H.
Bukti :
Dari teorima diatas, akan dibuktikan :
(i). Jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha ( menurut definisi )
a∈ Ha dan Ha=Hb maka a∈ Hb ( substitusi )
a∈ Hb maka a= h o b dengan h∈ H ( Definisi )
Dari a= h o b diperoleh :
a o b-1= ( h o b ) o b-1 ( Operasikan dengan b-1 di sebelah kanan ).
a o b-1= h o ( b o b-1) ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
a o b-1= h o u ( Sifat Invers )
a o b-1= h∈ H ( Sifat identitas u ).
Terbukti bahwa “ jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
(ii). Jika a o b-1∈ H maka Ha=Hb
Misalkan h= a o b-1∈ H, maka a= h o b dan b= h-1 o a. ambil X∈ Ha, maka :
X= h1 o a ( h1∈ H )
= h1 o ( h o b ) ( substitusi a=h o b )
= (h1 o h ) o b ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h2 o b∈ Hb (h1 o h = h2∈ H, untuk h1, h∈ H )
= X∈ Hb ( Menurut definisi )
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ Hb, hal ini berarti Ha⊂ Hb…………….(*).
Ambil Y∈ H, maka :
Y = h3 o b (h3∈ H)
= h3 o ( h-1 o a ) ( substitusi b = h-1 o a )
= (h3 o h-1) o a ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h4 o a∈ Ha (h3 o h-1 = h4∈ H, untuk h3 , h-1∈ Ha )
= Y∈ Ha ( menurut definisi ).
Jadi jika Y∈ Hb maka Y∈ Ha, hal ini berarti Hb⊂ Ha…………………..(**).
Karena Ha⊂ Hb dan Hb⊂ Ha maka Ha =Hb
Terbukti bahwa “Jika a o b-1 ∈H maka Ha =Hb”
Dari (i) dan(ii) diperoleh “Jika Ha =Hb maka a o b-1 ∈H”dan” jika a o b-1 ∈H maka
Ha =Hb”.Jadi terbukti bahwa” Ha =Hb” bila dan hanya bila a o b-1 ∈H”
Bila G suatu grup dan N subgroup normal dalam G.G/N (N’’faktor’’ dari G) adalah himpunan semua koset kanan dari N dalam G.Buktikan bahwaG/N merupakan grup (grup faktor) terhadap operasi perkalian himpunan.
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa G/N merupakan grup, harus diuji masing-masing aksioma grup dalam G/N.
(i). Ambil x,y ∈ G/N ,maka X = Na dan Y = Nb dengan a,b ∈G.
XY= NaNb
= N(aN)b ( Berlaku asosiatif karena N⊂G dan a,b∈G).
= N(Na)b ( Karena N subgroup normal dari G )
= NN (aob)
=N (aob) ( karena N subgroup maka NN=N)
= N (aob) koset kanan dari N dalam G.
Hal iniberarti XY∈ G/N atau perkalian himpunan tertutup dalam G/N.
(ii). Ambil X,Y,Z∈ G/N, maka X= Na, Y=Nb dan Z=Nc dengan a, b, c∈ G.
(XY)Z= (NaNb)Nc
= N(aob)Nc (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[(aob)oc] (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[ao(boc)] ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= NaN(boc)
=Na(NbNc)
= X(YZ)
Hal ini berarti perkalian himpunan berlaku assosiatif dalam G/N.
(iii).Operasi perkalian himpunan dalam G/N memiliki identitas yaitu Nu=N sebab untuk
X∈ G/N, dengan X=Na dan a∈ G.
XN= NaNu NX= NuNa
= N (aou) = N(uoa)
= Na = Na
= X = X
Sehingga XN=NX=X, hal ini berarti N identitas operasi perkalian himpunan dalam G/N.
(iV). ∀Na∈G/N memiliki invers yaitu Na-1∈G/N, sebab:
NaN a-1=N(ao a-1)=Nu=N
N a-1 Na=N(a-1oa) )=Nu=N
Sehingga diperoleh NaN a-1= N a-1 Na=N
Jadi terbukti bahwa G/N adalah grup factor terhadap operasi perkalian himpunan.
Bila G suatu grup. Buktikan bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Bukti :
(i). Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN
N subgroup normal dalam G maka menurut teorema :
N = aN a-1
Na = aN a-1a ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈G)
Na =aNu ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈X)
Terbukti “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN.
(ii). Jika ∀a∈G, Na=aN maka N subgroup normal dalam G.
Na =aN
Na a-1 = aN a-1 ( operasikan masing- masing di sebelah kanan dengan a-1)
Nu = aNu (
Na = aN
Karena N= aN a-1 maka menurut teorema, N subgroup normal dalam G.
Terbukti jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN dan jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G”
Jadi terbukti bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupakan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu homomorfisma. Buktikan bahwa jika u elemen identitas dalam G dan f(u)=u’, maka u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’, harus ditunjukan bahwa ∀a’∈G’∋a’*u’=u’*a’=a’
Misalkan a,u∈G dan u identitas dalam G, maka a o u=u o a=a sedangkan f(a)=a’ dan f(u)=u’.
F(a) = f (a o u) ( karena u o a=a )
= f(a) * f(u) ( karena f Homomorfisma )
= a’ * u’
Karena f(a)=a’ dan f(a)=a’ * u’ maka a’ * u’………………………..(1)
F(a) = f(u o a) ( karena u o a=a)
=f(u) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= u’ * a’
Karena f(a)=a’ dan f(a)= u’* a’ maka u’* a’…………………………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀a’ ∈ G’∋a’ * u’=u’ * a’=a’.
Jadi terbukti bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupkan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu isomorfisma. Buktikan bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Bukti :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
(i). ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= f( b o a ) ( karena ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a)
= f(b) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= b’ * a’
Dengan demikian F(a o b) = f(a) * f(b) dan F(a o b) = b’ * a’ sehingga diperoleh a’ * b’= b’ * a’
Terbukti bahwa ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ atau G’ komutatif.
(ii). ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= b’ * a’ ( karena ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’)
= f(b) * f(a)
= f( b o a ) ( karena f homomorfisma )
Dengan demikian F(a o b)= f( b o a ). Karena f suatu isomorfisma dimana berlaku fungsi injektif maka a o b= b o a.
Terbukti bahwa ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a atau G komutatif.
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ dan ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a jadi terbukti bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Buktikan jika f:G H dan g: H K masing-masing adalah homomorfisma grup, maka komposisi g o f : G K adalah suatu homomorfisma grup.
Bukti :
Ambil a,b ∈ G maka :
( g o f )(ab) = g(f(ab))
= g(f(a).f(b))
= g(f(a)).g(f(b))
= (g o f)(a).(g o f)(b)
Terbukti bahwa komposisi g o f: G K adalah suatu homomorfisma grup.
Untuk sebarang grup G, fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)=u adalah homomorfisma ( u elemen identitas).Buktikan!
Bukti :
f: G G. ambil x, y∈ G maka f(x)=u, f(y)=u
f(xy) = u
= u. u
= f(x). f(y)
Terbukti bahwa f homomorfisma.
Suatu fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)= X2 adalah suatu homomorfisma grup bila dan hanya bila G grup abelian.
Bukti :
Jika f: G G dengan f(X)= X2 homomorfisma maka G abelian.
Missal x, y∈ G, f(x)=x2, f(y)= y2
F( x o y) = f(x) o f(y) ( Homomorfisma )
(x o y)2 = x2 o y2
X o y o x o y = x o x o y o y
x-1 o x o y o xo yo y-1 = x-1 o x ox o y o yo y-1
u o y o x o u = u o x o y o u
y o x = x o y
Jika G grup abelian maka f: G G dengan f(x)=x2 homomorfisma.
Missal a, b∈ G, f(a)=a2, f(b)=b2
F(a o b) = ( a o b)2
= a2 o b2
= f(a) o f(b)
Misal G grup bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan G’ suatu grup bilangan real positif dengan operasi perkalian. Dengan menentukan suatu pemetaan f:G G’ tertentu, tunjukkan bahwa G dan G’ isomorfik!
Penyelesaian :
Agar G dan G’ isomorfik maka harus ditunjukkan bahwa f suatu isomorfisma atau homomorfisma yang bijektif.
F : G G’
F : (G,+) (G’,X)
Didefinisikan dengan f(x)=nx , X∈ G, n∈ bilangan real positif.
Ambil x,y∈ G maka f(x)=nx , f(y)=ny
F(x+y) = nx+y
= nx . ny
= f(x) . f(y)
Jadi F homomorfisma.
Akan dibuktikan jika f(x)=F(y) maka x=y
F(x) = f(y)
nx = ny
x = y
Jadi f injektif
Ambil y∈ G’ dan x∈ G
F(x) = y
nx = y
x = nlog y
Karena n∈ bilangan real positif, y∈ bilangan real positif maka x∈ bilangan real
Jadi ∀y∈G’∋ x = nlog y∈ G sehingga f(x)=y maka f surjektif.
Karena f homomorfisma, f injektif, f surjektif ( f homomorfisma yang bijektif ) maka f suatu isomorfisma, karena f memetakan G dengan G’ maka G dan G’ isomorfik.
