Tugas Analisis Real

UJI KEKORVERGENAN DERET
MAKALAH
Diajukan untuk memenuhi tugas dari mata kuliah ANALISIS REAL
Dari dosen : Puji Lestari, M.Pd.


Di susun oleh :
FITRI TILAWATI ( 08511060 )
WIWIN WINARTI ( 08511096 )
IIS WAHIDAH ( 08511069 )
NENG MERIA ( 085110

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN ( STKIP )
GARUT-2011

PENDAHULUAN

Tema pembahasan makalah ini adalah UJI KEKONVERGENAN DARI SUATU DERET, merupakan pembahasan lanjutan dari tema mata kuliah yang sudah di bahas sebelumnya mengenai Kekonvergenan dan kedivergenan suatu barisan.

Sebelumnya telah diketahui bahwa Barisan dikatakan konvergen jika memiliki limit dan barisan dikatakan divergen jika tidak memiliki limit.Dan sudah dipelajari pula sebelumnya untuk mengecek apakah suatu barisan konvergen atau divergen? Bisa di cek dengan menggunakan teorema uji konvergen, uji rasio, dan lain- lain.

Oleh karena itu, pembahasan dalam makalah ini adalah Bagaimana kita bisa mengecek apakah SUATU DERET itu konvergen atau divergen??

UJI KEKONVERGENAN DARI SUATU DERET

Ada bermacam- macam deret yang kami temukan, diantaranya deret tak hingga, deret geometri, deret positif, deret alternative, deret pangkat (kuasa), Deret Taylor dan Maclaurin.
 Deret tak hingga
Deret tak hingga a1+a2+a3+… dapat ditulis sebagai atau . Jumlah parsial ke-n dari barisan ditulis Sn= a1+a2+a3+…+an = .
Deret tak hingga konvergen dan memmiliki jumlah S apabila barisan jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila barisan jumlah parsial {Sn} divergen, maka deret divergen.
 Deret Geometri
Deret geometri memiliki bentuk , dengan a≠ 0.Suatu deret geometri konvergen dengan jumlah S = a/(1-r) apabila |r|<1 dan divergen apabila r ≥ 1.
1. Teorema A (uji divergensi dengan suku ke-n):
Apabila konvergen maka =0. Sebaliknya, Apabila ≠ 0 atau limitnya tidak ada, maka divergen.
2. Teorema B (Kelinieran):
Jika dan keduanya konvergen dan c konstan, maka dan juga konvergen dan =c dan = + .
3. Teorema C:
Jika divergen dan c ≠ 0 maka juga divergen.
4. Teorema D (Pengelompokan):
Suku-suku sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokkan dengan cara sebarang, dan deret yang baru tetap konvergen dan jumlahnya sama dengan jumlah deret semula.
 Deret Positif
Deret positif dan uji-uji konvergensinya. Ada beberapa uji konvergensi untuk deret suku positif.
1. Teorema A (Uji jumlah terbatas):
Suatu deret yang sukunya tak negatif ad lah konvergen jhj jumlah parsialnya terbatas ke atas.
2. Teorema B (Uji Integral):
Andaikan f suatu fungsi yang kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ]. Andaikan an = f(n) untuk semua bilangan asli n. Maka deret tak hingga konvergen jhj konvergen.
3. Teorema C (Uji banding):
Andaikan untuk n≥N berlaku 0≤an≤bn.
(i). Jika konvergen maka konvergen.
(ii). Jika divergen maka divergen.
4. Teorema D (Uji banding limit):
Andaikan an≥0, bn>0, dan . Apabila 05. Teorema E (Uji hasil bagi):
Andaikan sebuah deret suku positif dan andaikan .
(i). Jika <1 deret konvergen
(ii). Jika >1 deret divergen
(iii). Jika =1 pengujian tidak memberikan hasil.
 Deret alternatif
Deret alternatif adalah deret yang suku-sukunya berganti-ganti tandanya, yakni deret yang dapat ditulis dalam bentuk a1-a2+a3-... dengan an > 0 untuk semua n. Sebagai contoh adalah deret 1-1/2+1/3-1/4+... yang merupakan deret harmonik yang konvergen.
1. Teorema A (Uji deret alternatif)
Andaikan a1-a2+a3-... suatu deret alternatif dengan an>an+1>0. Apabila =0, maka deret konvergen. Jika S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn, maka kesalahannya tidak akan melebihi an+1.
2. Teorema B (Uji kekonvergenan Mutlak).
Apabila konvergen maka juga konvergen (disebut konvergen mutlak).
3. Teorema C (uji pembanding mutlak)
Andaikan sebuah deret yang suku-sukunya tak nol dan andaikan .
(i). Jika  < 1, deret konvergen mutlak
(ii). Jika  > 1 deret divergen
(iii). Jika  = 1, pengujian tidak dapat memberikan kepastian.
4. Teorema D (Penukaran tempat)
Suku-suku suatu deret yang konvergen mutlak dapat diubah-ubah kedudukannya tanpa mempengaruhi kekonvergenan atau jumlahnya.
 Deret pangkat (kuasa)
Ingin diketahui untuk nilai-nilai x yang mana saja deret fungsi konvergen serta ke fungsi apakah deret tersebut konvergen. Pada khususnya dipelajari untuk deret pangkat (kuasa) yakni deret berbentuk . Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret kuasa yang konvergen disebut himpunan kekonvergenan.
1. Teorema A
Himpunan kekonvergenan deret kuasa selalu berbentuk selang (interval) yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
(i). Satu titik x=0
(ii). Selang (-R,R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.
(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.
2. Teorema B
Deret kuasa konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya.
Sebuah deret kuasa berbentuk dinamakan deret kuasa dalam x-a. Himpunan kekonvergenan deret ini adalah salah satu dari:
(i). Satu titik x=a
(ii). Selang (a-R, a+R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.
(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.
Operasi-operasi deret kuasa
1. Pendifferensialan dan Pengintegralan suku demi suku
Teorema A
Andaikan S(x)= adalah jumlah sebuah deret kuasa pada sebuah selang I. Maka, apabila x ada dalam I, berlakulah:
(i). S’(x)=
(ii). =
2. Operasi-operasi aljabar
Teorema B
Andaikan f(x) = dan g(x) = , yang masing-masing konvergen untuk x<|r|. Apabila pengerjaan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan terhadap deret-deret itu seakan-akan mereka suku banyak, maka deret yang diperoleh konvergen untuk |x| Deret Taylor dan Maclaurin
Jika kita memiliki sebuah fungsi f, apakah fungsi ini dapat digambarkan sebagai deret kuasa dari x atau x-a? Jika dapat, bagaimana bentuk deretnya?
1. Teorema A (ketunggalan)
Andaikan f memenuhi uraian
f(x) = c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + ...
Untuk semua x dalam suatu selang sekitar a, maka cn = .
2. Teorema B (Taylor)
Andaikan f sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkatan dalam suatu selang (a-r,a+r). Syarat perlu dan cukup agar deret Taylor
F(a)+f’(x-a) + f’’(x-a)2/2! + f’’’(x-a)3/3! + ...
Menggambarkan fungsi f pada selang itu ialah =0, dengan Rn(x) suku sisa dalam rumus Taylor, yakni Rn(x)=
Dengan c didalam selang (a-r, a+r).