ANUITAS TERTENTU
Pembayaran Periodik
Contoh 1 :
Berapakah tabungan setengah tahunan yang harus ditabung dengan perhitungan hanya 3,5 % digabungkan setengah tahunan untuk 10 tahun yang akan menjadi Rp. 25.000,00 stelah simpanan terakhir?
Penyelesaian :
Diketahui : n= 10 tahun X 2= 20 ( karena setengah tahunan )
i= 3,5:2=0,0175 ( karena setengah tahunan )
R = S .1/Sni
= 25.000 x 1/S20.0175
= 25.000x (1:((1+0,0175)20-1:0,0175)))
=(25.000(0,0175))/((1+0,0175)20-1)
= 437,5/0,414778195
= 1054,78
Jadi pembayaran/ pembayaran tetap ( pokoknya) adalah Rp. 1054,78
Contoh 2 : ( menghitung waktu/n)
Cadangan dana rp. 50.000,00 diakumulasikan dengan deposito Rp. 250,00 dari tiap 3 bulan. Jika dana pertama 4% digabungkan kuartalan. Tentukan Jumlah dari Rp.250,00 simpanan dan simpanan 3 bulan terakhir?
Penyelesaian :
Diketahui : S= 50.000
R= 250
I= (4%)/4=1% ( karena kuartalan )
Maka :
R =Sni
250 = 50.000 x ni
50.000 = 250 x ( 1+0,01)n-1/0,01
= 25.000 x ( 1+0,01)n-1 ( karena 250 : 0,01=25.000)
2 =( 1+0,01)n-1 ( kedua ruas dibagi dengan 25.000)
3 = ( 1+0,01)n
Log 3 = log ( 1+0,01)n
Log 3 = n x log ( 1+0,01)
Log 3 = n x log ( 1,01)
N = (Log 3)/(log ( 1,01)) = 0,477121254/0,004321373783= 110,4096239 = 110,409=110,41
Jadi pembayaran 3 bulan terakhir :
X = S-R.Sni
= 50.000- 250.((1,01)110-1/0,01)
= 50.000- 25.000 ((1,01)110-1)
= 50.000- 25.000( 1,987797201)
=50.000- 49694,93003= 305,07
Contoh 3 :
1 set televise dibeli dengan harga Rp.449,5 tunai atau dengan Rp.49,5 sebagai uang muka dan 27,5 per bulan untuk 12 bulan. Gerapakah laju nominal digabung bulanan yang harus dibebankan?
Penyelesaian :
Diketahui : A= 449,5 dikurangi uang muka 49,5 maka 400
R= 27,5
N= 12+6 =18 karena digabung bulanan
Sehingga :
A = R. a ni
400 = 27,5 ( 1- (1+i)-18/i)
400/27,5 = ( 1- (1+i)-18/i)
14,54545455 = ( 1- (1+i)-18/i)
Missal :
i= 0,01 maka a18.01= 16,3982….
i= 0,02 maka a18.02= 14,99205125
i=0,03 maka a18.03= 13,75351308
Jadi :
i= 0,02 + (14,99205125-14,54545455)/(14,99205125- 13,75351308) X 0,01
i= 0,02+ 0,003605
P = 0,023605 x 12
= 0,28326
= 28%
Jika ditanyakan laju efektif maka :
1+P = (1+p)n
= (1,023605)12
= 1,323088161
P = 32,31 %
Contoh 4:
Berapa banyak M harus menginvestasikan tiap akhir 3 kuartalan untuk 4 tahun mendatang dalam dana pembayaran 4% digabung kuartalan untuk mencapai dana akumulasi Rp.2.500,00.
Penyelesaian :
I = 4% : 4= 1%= 0,01
S = 2.500
N = 16
Ditanyakan R?
S= R. Sni atau R = S X 1/Sni
R = 2.500 X 1/S16.01
= 2.500 ((1:(1,01)16-1/0,01))
= 2500(0,01): (1,01)16-1= 25:0,172578644=144,86.
Contoh 5 :
Pedagang mengeluarkan obligasi untuk 20 tahun sebesar Rp. 100.000,00 dan menyusun dana untuk obligasi bila jatuh temponya. Berapakah yang harus disisihkan tiap tahun untuk kegunaan tersebut, jika dana mendapat bunga 2,5%.
Penyelesaian :
N = 20
I = 2,5%=0,025
A = 100.000,00
Maka :
A = R. a 20.025
100.000 = R ( (1-1,025)-20)/0,025)
100.000:0,025= R ( (1-1,025)-20)
2500 = R ( (1-1,025)-20)
R = 2500: ((1-1,025)-20)
= 2500 : 0,389729057
= 6.414,713
CICILAN
Anggaran cadangan pelunasan
Anggaran adalah suatu hutang yang berbunga, dikatakan telah dilunasi jika seluruh pertanggungan ( pokok dan bunga ) telah dibebaskan dengan suatu deretan pembayaran yang di buat dalam suatu interval yang sama.
Contoh 1 :
Hutang Rp. 5000,00 dengan bunga majemuk 5% dihitung setengah tahunan telah dilunasi atau di amortisasi dengan pembayaran setengah tahunan R selama 3 tahun, kekenam pembayaran sebesar R membentuk anuitas biasa yang mempunyai nilai tunai sebesar Rp. 5.000,00.
Penyelesaian :
A = 5000
I = 5%:2= 0,025
N = 6
Maka :
A = R. a6.025
5000 = R . (1-(1+i)-6)/i)
= R . (1-(1,025)-6)/0,025)
5000: 0,025 = R . (1-(1,025)-6)
125 = R( 1- 0,862296866)
R = 125: 0,137703134= 907,75
Tabel Angsuran
Hutang Awal Anuitas Rp. 907,75 Sisa hutang
Pokok Bunga 2,5%
5000 782,75 125,00 4.217,25
4.217,25 802,32 105,43 3.414,93
3.414,93 822,38 85,37 2.592,55
2.592,55 842,94 64,81 1.749,61
1.749,61 864,01 43,74 885,60
885,60 885,60 22,14 0
A4 = R a2.025
= 907,75(1-(1,025)-2)/0,025)
=1.749,61
Jadi nilai tunai pada akhir semester ke-4 adalah 1.749,61.
Contoh 2 :
Untuk memperbaiki tokonya seorang pedagang meminjam Rp. 20.000,00. Ia setuju melunasi hutangnya, pokok dan bunga 4% dengan pembayaran tahunan selama 8 tahun mendatang yang pertama dibayar dalam 1 tahun.Tentukan :
Biaya tahunan dari hutang.
Pokok yang belum diselesaikan sampai pembayaran ke 6.
Dengan berapakah hutangnya dikurangi pembayaran ke 4.
Buat table angsurannya.
Penyelesaian :
A = 20.000
I = 4%=0,04 dan n=8
A = R. a8.04
20.000 = R . (1-(1+i)-8)/i)
= R . (1-(1,04)-8)/0,04)
20.000: 0,04 = R . (1-(1,04)-8)
800 = R( 1- 0,730690205)
R = 800: 0,269309795 = 2.970,56
b. A = R. a2.04
= 2.970,56(1-(1+i)-2)/i)
= 2.970,56(1-(1,04)-2)/0,04)
= 2.970,56(1-(0,924556213/0,04))
= 2.970,56(1,886094675)
= 5.602,76
c. Pokok yang belum diselesaikan sampai pembayaran ke 3 (8-3=5)
A = R. a5.04
= 2.970,56(1-(1+i)-5)/i)
= 2.970,56(1-(1,04)-5)/0,04)
= 2.970,56(1-(0,821927106 /0,04))
= 2.970,56(4, 45182235)
= 13.224,41
Bunga yang harus dibayar jika pembayaran ke 4 dilakukan adalah 13.224,41(0,04)= 528,98.
Jadi pembayaran ke 4 mengurangi hutang sebanyak 2.970,56-528,98=2.441,58.
d. Table angsuran
Hutang Awal Anuitas Rp. 2.970,56 Sisa hutang
Pokok Bunga 4%
20.000 2.170,56 800 17.829,44
17.829,44 2.257,38 713,18 15.572,06
15.572,06 2.347,6776 622,8824 13.224,38
13.224,38 2.441,5848 528,9752 10.782,7952
10.782,7952 2.539,248192 431,311808 8.243,55
8.243,55 2.640,818 329,742 5.602,732
5.602,732 2.746,45 224,11 2.856,28
2.856,28 2.856,28 114,25 0
Kamis, 23 Juni 2011
Tugas Struktur Aljabar 1
TUGAS DAN JAWABAN
STRUKTUR ALJABAR 1 ( Tugas Sebelum UAS semester 5 )
Misal G suatu grup, a b c dan x merupakan anggota dari G, nyatakan x dalam a, b dan c bila : ax2=xbc dan ax=xa.
Jawab :
ax2 = xbc
axx = xbc
xax = xbc ( karena ax=xa )
x^(-1)xax = x^(-1) xbc
uax = ubc ( u identitas )
ax = bc
a^(-1) ax = a^(-1) bc
ux = a^(-1) bc ( u identitas )
x = a^(-1) bc
Periksa apakah grup berikut ini merupakan grup siklik!
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
Jawab :
i1 = i (-i)1 = -i
i2 = -1 (-i)2 = i2 = -1
i3 = (i2)(i) =-i (-i)3= (-i)2(-i) =(-1) (-i) =i
i4 =(i2) (i2)=(-1)(-1)=1 (-i)4 =(-i)2(-i)2=(-1)(-1)=1
maka A dapat dinyatakan sebagai berikut :
A = {1, -1, i, -i}
= { i4, i2, i1, i3}
= {(-i)4, (-i)2, (-i)3, (-i)1}
Jadi A merupakan grup siklik.
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
Jawab :
11=1 51= 5
12= 1+1= 2 52=5+5=4
13= 1+1+1=3 53=5+5+5=3
14= 1+1+1+1=4 54=5+5+5+5=2
15=1+1+1+1+1=5 55=5+5+5+5+5=1
16=1+1+1+1+1+1=0 56=5+5+5+5+5+5=0
Maka B dapat dinyatakan sebagai :
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
= { 16, 11, 12, 13, 14, 15}
= {56, 55, 54, 53, 52, 51}
Jadi B merupakan grup siklik.
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
Jawab :
11=1 21=2
12= 1+1= 2 22=2+2=4
13= 1+1+1=3 23=2+2+2=6
14= 1+1+1+1=4 24=2+2+2+2=1
15=1+1+1+1+1=5 25=2+2+2+2+2=3
16=1+1+1+1+1+1=6 26=2+2+2+2+2+2=5
17=1+1+1+1+1+1+1=0 27=2+2+2+2+2+2+2=0
31= 3 41= 4
32= 3+3= 6 42= 4+4 = 1
33= 3+3+3=2 43= 4+4+4 = 5
34= 3+3+3+3=5 44= 4+4+4+4 = 2
35= 3+3+3+3+3=1 45= 4+4+4+4+4 = 6
36= 3+3+3+3+3+3=4 46= 4+4+4+4+4+4 = 3
37= 3+3+3+3+3+3+3=0 47= 4+4+4+4+4+4+4 = 0
51= 5 61= 6
52= 5+5 = 3 62= 6+6 =5
53= 5+5+5 = 1 63= 6+6+6 = 4
54= 5+5+5+5 = 6 64= 6+6+6+6 = 3
55= 5+5+5+5+5 = 4 65= 6+6+6+6+6 = 2
56= 5+5+5+5+5+5 = 2 66= 6+6+6+6+6+6 = 1
57= 5+5+5+5+5+5+5 = 0 67= 6+6+6+6+6+6+6 = 0
Maka C dinyatakan dengan :
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {17, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
= { 27, 24, 21, 25, 22, 26, 23}
= { 37, 35, 33, 31, 36, 34, 32}
= { 47, 42, 44, 46, 41, 43, 45}
= {57, 53, 56, 52, 55, 51, 54}
= { 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61}
Jadi C merupakan grup siklik.
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Jawab :
31= 3
32= 3x3= 4
33= 3x3x3= 2
34= 3x3x3x3= 1
35= 3x3x3x3x3= 3
Maka D dapat dinyatakan sebagai :
D ={ 1, 2, 3, 4}
={ 34, 33,35atau31,32}
Jadi D merupakan grup siklik.
Carilah semua subgroup dari grup :
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Misal G adalah suatu grup dan H⊂ G, H≠∅ Buktikan bahwa H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jawab :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
i). Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jika H subgroup dari G, maka H adalah grup ( Menurut definisi subgroup )
Ambil y∈ H, maka y^(-1)∈H ( karena H grup/aksioma invers)
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H, maka x oy^(-1)∈H ( Aksioma Tertutup )
Jadi terbukti bahwa “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H
ii). Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H, maka H subgroup dari G.
Untuk menyatakan bahwa H subgroup dari G maka harus ditunjukan bahwa H suatu grup dengan operasi yang berlaku dalam G.
Karena H⊂ G dan G suatu grup yang berlaku aksioma asosiatif maka dalam H berlaku aksioma asosiatif. Jadi dalam H berlaku assosiatif.
Ambil a∈ H, maka a oa^(-1)= u∈H. Jadi H memilki identitas.
Ambil u∈ H dan b∈ H maka u ob^(-1)=b^(-1) ∈H. Jadi ∀ b∈ H ∋b^(-1) ∈H.
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H maka x o〖(y〗^(-1))-1= x o y∈H. ( Aksioma Tertutup ) karena dalam H berlaku keempat aksioma grup dan H⊂ G maka H subgroup dari G.
Jadi terbukti bahwa “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”.
Dari i) dan ii) diperoleh “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H dan “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”. Jadi terbukti bahwa “H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H”.
Buktikan bahwa jika ∀ a∈G dan G suatu grup berlaku a2=u ( u identitas ) maka G merupakan grup abelian.
Jawab :
a∈G a2=u
b∈G b2=u
a,b∈G ( a o b )2=u
( a o b )2 = u o u
a o b o a o b = aa o b2
a o b o a o b = a o a o b o b
a-1 o a o b o a o b = a-1 o a o a o b o b ( operasikan a-1∈G masing-masing di sebelah kiri )
b o a o b = a o b o b
b o a o b o b-1 = a o b o b o b-1 ( operasikan b-1∈G masing-masing di sebelah kanan)
b o a = a o b ( Berlaku komutatif )
Karena berlaku komutatif maka G grup abelian.
Buktikan bahwa jika G suatu grup dan n (G)=3, maka G grup abelian.
Jawab :
Misalkan G= {u, a, b}, n(G)=3
A,b,u∈G dan u identitas.
a o b = a ( Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
a o b = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
a o b = u ( Mungkin, jika a = b-1 atau b=a-1)
b o a = a (Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
b o a = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
b o a = u ( Mungkin, jika b=a-1 atau a = b-1)
Dari a o b = u dan b o a = u, maka diperoleh a o b = b o a ( Komutatif )
Terbukti bahwa “ Jika n (G)=3, maka G grup abelian.”
Misal G suatu grup, buktikan bahwa jika H subgroup dari G maka H-1=H ( Keterangan :
H-1={a^(-1)│a∈H}).
Jawab :
Untuk membuktikan H-1=H harus ditunjukan bahwa H-1⊂ H dan H⊂ H-1.
Ambil sebarang X∈ H-1, maka X=a-1 dengan a∈H ( menurut definisi ) karena a∈H dan H subgroup dari G, maka a-1= X∈ H.Jadi jika X∈ H-1 maka X∈ H, hal ini berarti H-1⊂ H...(i)
Ambil sebarang Y∈ H, karena H subgroup dari G maka Y-1∈H, karena Y-1∈H,
maka (Y-1)-1= Y∈ H-1 ( Menurut Definisi ). Jadi jika Y∈ H maka Y∈ H-1,
hal ini berarti H⊂ H-1…..(ii).
Dari (i) dan (ii) diperoleh H-1⊂ H dan H⊂ H-1., hal ini berarti bahwa H-1=H.
Buktikan bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian!
Jawab:
Misalkan G adalah grup siklik dengan generator a. ambil am, an∈ G dan m, n∈ Bilangan bulat.
am o an = am+n
am o an = an+m
am o an = an o am
Jadi terbukti bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian.
Jika G suatu grup, H adalah subgroup dari G. Buktikan bahwa :
Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H.
Bukti :
Dari teorema diatas akan di buktikan :
(i). Jika Ha = H maka a ∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil a ∈ H dan a ∈ G maka u o a = a∈ Ha. a ∈ H dan
Ha = H maka a ∈ H. Terbukti bahwa jika Ha = H maka a ∈ H.
(ii). Jika a ∈ H maka Ha = H.
Untuk menunjukan Ha = H maka harus dibuktikan Ha⊂ H dan H⊂ Ha. Ambil X∈ H maka X=h o a dengan h∈ H. h∈ H, a∈ H dan H subgroup dari G maka h o a = X∈ H.
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ H, hal ini berarti bahwa Ha⊂ H………(*).
Karena a ∈ H dan H⊂G maka a∈G. Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha. Jadi jika a ∈ H maka ∈ Ha, hal ini berarti bahwa H⊂ Ha……..(**).
Dari (*) dan (**) diperoleh Ha⊂ H dan H⊂ Ha sehingga Ha = H.
Terbukti bahwa jika a ∈ H maka Ha = H.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika Ha = H maka a ∈ H” dan “ jika a ∈ H maka Ha = H”. Jadi terbukti bahwa “Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H “.
Ha=Hb bila dan hanya bila a o b-1∈ H.
Bukti :
Dari teorima diatas, akan dibuktikan :
(i). Jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha ( menurut definisi )
a∈ Ha dan Ha=Hb maka a∈ Hb ( substitusi )
a∈ Hb maka a= h o b dengan h∈ H ( Definisi )
Dari a= h o b diperoleh :
a o b-1= ( h o b ) o b-1 ( Operasikan dengan b-1 di sebelah kanan ).
a o b-1= h o ( b o b-1) ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
a o b-1= h o u ( Sifat Invers )
a o b-1= h∈ H ( Sifat identitas u ).
Terbukti bahwa “ jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
(ii). Jika a o b-1∈ H maka Ha=Hb
Misalkan h= a o b-1∈ H, maka a= h o b dan b= h-1 o a. ambil X∈ Ha, maka :
X= h1 o a ( h1∈ H )
= h1 o ( h o b ) ( substitusi a=h o b )
= (h1 o h ) o b ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h2 o b∈ Hb (h1 o h = h2∈ H, untuk h1, h∈ H )
= X∈ Hb ( Menurut definisi )
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ Hb, hal ini berarti Ha⊂ Hb…………….(*).
Ambil Y∈ H, maka :
Y = h3 o b (h3∈ H)
= h3 o ( h-1 o a ) ( substitusi b = h-1 o a )
= (h3 o h-1) o a ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h4 o a∈ Ha (h3 o h-1 = h4∈ H, untuk h3 , h-1∈ Ha )
= Y∈ Ha ( menurut definisi ).
Jadi jika Y∈ Hb maka Y∈ Ha, hal ini berarti Hb⊂ Ha…………………..(**).
Karena Ha⊂ Hb dan Hb⊂ Ha maka Ha =Hb
Terbukti bahwa “Jika a o b-1 ∈H maka Ha =Hb”
Dari (i) dan(ii) diperoleh “Jika Ha =Hb maka a o b-1 ∈H”dan” jika a o b-1 ∈H maka
Ha =Hb”.Jadi terbukti bahwa” Ha =Hb” bila dan hanya bila a o b-1 ∈H”
Bila G suatu grup dan N subgroup normal dalam G.G/N (N’’faktor’’ dari G) adalah himpunan semua koset kanan dari N dalam G.Buktikan bahwaG/N merupakan grup (grup faktor) terhadap operasi perkalian himpunan.
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa G/N merupakan grup, harus diuji masing-masing aksioma grup dalam G/N.
(i). Ambil x,y ∈ G/N ,maka X = Na dan Y = Nb dengan a,b ∈G.
XY= NaNb
= N(aN)b ( Berlaku asosiatif karena N⊂G dan a,b∈G).
= N(Na)b ( Karena N subgroup normal dari G )
= NN (aob)
=N (aob) ( karena N subgroup maka NN=N)
= N (aob) koset kanan dari N dalam G.
Hal iniberarti XY∈ G/N atau perkalian himpunan tertutup dalam G/N.
(ii). Ambil X,Y,Z∈ G/N, maka X= Na, Y=Nb dan Z=Nc dengan a, b, c∈ G.
(XY)Z= (NaNb)Nc
= N(aob)Nc (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[(aob)oc] (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[ao(boc)] ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= NaN(boc)
=Na(NbNc)
= X(YZ)
Hal ini berarti perkalian himpunan berlaku assosiatif dalam G/N.
(iii).Operasi perkalian himpunan dalam G/N memiliki identitas yaitu Nu=N sebab untuk
X∈ G/N, dengan X=Na dan a∈ G.
XN= NaNu NX= NuNa
= N (aou) = N(uoa)
= Na = Na
= X = X
Sehingga XN=NX=X, hal ini berarti N identitas operasi perkalian himpunan dalam G/N.
(iV). ∀Na∈G/N memiliki invers yaitu Na-1∈G/N, sebab:
NaN a-1=N(ao a-1)=Nu=N
N a-1 Na=N(a-1oa) )=Nu=N
Sehingga diperoleh NaN a-1= N a-1 Na=N
Jadi terbukti bahwa G/N adalah grup factor terhadap operasi perkalian himpunan.
Bila G suatu grup. Buktikan bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Bukti :
(i). Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN
N subgroup normal dalam G maka menurut teorema :
N = aN a-1
Na = aN a-1a ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈G)
Na =aNu ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈X)
Terbukti “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN.
(ii). Jika ∀a∈G, Na=aN maka N subgroup normal dalam G.
Na =aN
Na a-1 = aN a-1 ( operasikan masing- masing di sebelah kanan dengan a-1)
Nu = aNu (
Na = aN
Karena N= aN a-1 maka menurut teorema, N subgroup normal dalam G.
Terbukti jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN dan jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G”
Jadi terbukti bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupakan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu homomorfisma. Buktikan bahwa jika u elemen identitas dalam G dan f(u)=u’, maka u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’, harus ditunjukan bahwa ∀a’∈G’∋a’*u’=u’*a’=a’
Misalkan a,u∈G dan u identitas dalam G, maka a o u=u o a=a sedangkan f(a)=a’ dan f(u)=u’.
F(a) = f (a o u) ( karena u o a=a )
= f(a) * f(u) ( karena f Homomorfisma )
= a’ * u’
Karena f(a)=a’ dan f(a)=a’ * u’ maka a’ * u’………………………..(1)
F(a) = f(u o a) ( karena u o a=a)
=f(u) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= u’ * a’
Karena f(a)=a’ dan f(a)= u’* a’ maka u’* a’…………………………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀a’ ∈ G’∋a’ * u’=u’ * a’=a’.
Jadi terbukti bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupkan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu isomorfisma. Buktikan bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Bukti :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
(i). ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= f( b o a ) ( karena ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a)
= f(b) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= b’ * a’
Dengan demikian F(a o b) = f(a) * f(b) dan F(a o b) = b’ * a’ sehingga diperoleh a’ * b’= b’ * a’
Terbukti bahwa ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ atau G’ komutatif.
(ii). ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= b’ * a’ ( karena ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’)
= f(b) * f(a)
= f( b o a ) ( karena f homomorfisma )
Dengan demikian F(a o b)= f( b o a ). Karena f suatu isomorfisma dimana berlaku fungsi injektif maka a o b= b o a.
Terbukti bahwa ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a atau G komutatif.
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ dan ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a jadi terbukti bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Buktikan jika f:G H dan g: H K masing-masing adalah homomorfisma grup, maka komposisi g o f : G K adalah suatu homomorfisma grup.
Bukti :
Ambil a,b ∈ G maka :
( g o f )(ab) = g(f(ab))
= g(f(a).f(b))
= g(f(a)).g(f(b))
= (g o f)(a).(g o f)(b)
Terbukti bahwa komposisi g o f: G K adalah suatu homomorfisma grup.
Untuk sebarang grup G, fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)=u adalah homomorfisma ( u elemen identitas).Buktikan!
Bukti :
f: G G. ambil x, y∈ G maka f(x)=u, f(y)=u
f(xy) = u
= u. u
= f(x). f(y)
Terbukti bahwa f homomorfisma.
Suatu fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)= X2 adalah suatu homomorfisma grup bila dan hanya bila G grup abelian.
Bukti :
Jika f: G G dengan f(X)= X2 homomorfisma maka G abelian.
Missal x, y∈ G, f(x)=x2, f(y)= y2
F( x o y) = f(x) o f(y) ( Homomorfisma )
(x o y)2 = x2 o y2
X o y o x o y = x o x o y o y
x-1 o x o y o xo yo y-1 = x-1 o x ox o y o yo y-1
u o y o x o u = u o x o y o u
y o x = x o y
Jika G grup abelian maka f: G G dengan f(x)=x2 homomorfisma.
Missal a, b∈ G, f(a)=a2, f(b)=b2
F(a o b) = ( a o b)2
= a2 o b2
= f(a) o f(b)
Misal G grup bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan G’ suatu grup bilangan real positif dengan operasi perkalian. Dengan menentukan suatu pemetaan f:G G’ tertentu, tunjukkan bahwa G dan G’ isomorfik!
Penyelesaian :
Agar G dan G’ isomorfik maka harus ditunjukkan bahwa f suatu isomorfisma atau homomorfisma yang bijektif.
F : G G’
F : (G,+) (G’,X)
Didefinisikan dengan f(x)=nx , X∈ G, n∈ bilangan real positif.
Ambil x,y∈ G maka f(x)=nx , f(y)=ny
F(x+y) = nx+y
= nx . ny
= f(x) . f(y)
Jadi F homomorfisma.
Akan dibuktikan jika f(x)=F(y) maka x=y
F(x) = f(y)
nx = ny
x = y
Jadi f injektif
Ambil y∈ G’ dan x∈ G
F(x) = y
nx = y
x = nlog y
Karena n∈ bilangan real positif, y∈ bilangan real positif maka x∈ bilangan real
Jadi ∀y∈G’∋ x = nlog y∈ G sehingga f(x)=y maka f surjektif.
Karena f homomorfisma, f injektif, f surjektif ( f homomorfisma yang bijektif ) maka f suatu isomorfisma, karena f memetakan G dengan G’ maka G dan G’ isomorfik.
STRUKTUR ALJABAR 1 ( Tugas Sebelum UAS semester 5 )
Misal G suatu grup, a b c dan x merupakan anggota dari G, nyatakan x dalam a, b dan c bila : ax2=xbc dan ax=xa.
Jawab :
ax2 = xbc
axx = xbc
xax = xbc ( karena ax=xa )
x^(-1)xax = x^(-1) xbc
uax = ubc ( u identitas )
ax = bc
a^(-1) ax = a^(-1) bc
ux = a^(-1) bc ( u identitas )
x = a^(-1) bc
Periksa apakah grup berikut ini merupakan grup siklik!
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
Jawab :
i1 = i (-i)1 = -i
i2 = -1 (-i)2 = i2 = -1
i3 = (i2)(i) =-i (-i)3= (-i)2(-i) =(-1) (-i) =i
i4 =(i2) (i2)=(-1)(-1)=1 (-i)4 =(-i)2(-i)2=(-1)(-1)=1
maka A dapat dinyatakan sebagai berikut :
A = {1, -1, i, -i}
= { i4, i2, i1, i3}
= {(-i)4, (-i)2, (-i)3, (-i)1}
Jadi A merupakan grup siklik.
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
Jawab :
11=1 51= 5
12= 1+1= 2 52=5+5=4
13= 1+1+1=3 53=5+5+5=3
14= 1+1+1+1=4 54=5+5+5+5=2
15=1+1+1+1+1=5 55=5+5+5+5+5=1
16=1+1+1+1+1+1=0 56=5+5+5+5+5+5=0
Maka B dapat dinyatakan sebagai :
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
= { 16, 11, 12, 13, 14, 15}
= {56, 55, 54, 53, 52, 51}
Jadi B merupakan grup siklik.
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
Jawab :
11=1 21=2
12= 1+1= 2 22=2+2=4
13= 1+1+1=3 23=2+2+2=6
14= 1+1+1+1=4 24=2+2+2+2=1
15=1+1+1+1+1=5 25=2+2+2+2+2=3
16=1+1+1+1+1+1=6 26=2+2+2+2+2+2=5
17=1+1+1+1+1+1+1=0 27=2+2+2+2+2+2+2=0
31= 3 41= 4
32= 3+3= 6 42= 4+4 = 1
33= 3+3+3=2 43= 4+4+4 = 5
34= 3+3+3+3=5 44= 4+4+4+4 = 2
35= 3+3+3+3+3=1 45= 4+4+4+4+4 = 6
36= 3+3+3+3+3+3=4 46= 4+4+4+4+4+4 = 3
37= 3+3+3+3+3+3+3=0 47= 4+4+4+4+4+4+4 = 0
51= 5 61= 6
52= 5+5 = 3 62= 6+6 =5
53= 5+5+5 = 1 63= 6+6+6 = 4
54= 5+5+5+5 = 6 64= 6+6+6+6 = 3
55= 5+5+5+5+5 = 4 65= 6+6+6+6+6 = 2
56= 5+5+5+5+5+5 = 2 66= 6+6+6+6+6+6 = 1
57= 5+5+5+5+5+5+5 = 0 67= 6+6+6+6+6+6+6 = 0
Maka C dinyatakan dengan :
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {17, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
= { 27, 24, 21, 25, 22, 26, 23}
= { 37, 35, 33, 31, 36, 34, 32}
= { 47, 42, 44, 46, 41, 43, 45}
= {57, 53, 56, 52, 55, 51, 54}
= { 67, 66, 65, 64, 63, 62, 61}
Jadi C merupakan grup siklik.
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Jawab :
31= 3
32= 3x3= 4
33= 3x3x3= 2
34= 3x3x3x3= 1
35= 3x3x3x3x3= 3
Maka D dapat dinyatakan sebagai :
D ={ 1, 2, 3, 4}
={ 34, 33,35atau31,32}
Jadi D merupakan grup siklik.
Carilah semua subgroup dari grup :
A={ 1, -1, i, -i} dengan i= √(-1) terhadap operasi perkalian pada bilangan kompleks .
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan operasi penjumlahan modulo 6
C= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan operasi penjumlahan modulo 7
D ={ 1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5.
Misal G adalah suatu grup dan H⊂ G, H≠∅ Buktikan bahwa H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jawab :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
i). Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H.
Jika H subgroup dari G, maka H adalah grup ( Menurut definisi subgroup )
Ambil y∈ H, maka y^(-1)∈H ( karena H grup/aksioma invers)
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H, maka x oy^(-1)∈H ( Aksioma Tertutup )
Jadi terbukti bahwa “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H
ii). Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H, maka H subgroup dari G.
Untuk menyatakan bahwa H subgroup dari G maka harus ditunjukan bahwa H suatu grup dengan operasi yang berlaku dalam G.
Karena H⊂ G dan G suatu grup yang berlaku aksioma asosiatif maka dalam H berlaku aksioma asosiatif. Jadi dalam H berlaku assosiatif.
Ambil a∈ H, maka a oa^(-1)= u∈H. Jadi H memilki identitas.
Ambil u∈ H dan b∈ H maka u ob^(-1)=b^(-1) ∈H. Jadi ∀ b∈ H ∋b^(-1) ∈H.
Ambil x,y ∈ H dan y^(-1)∈H maka x o〖(y〗^(-1))-1= x o y∈H. ( Aksioma Tertutup ) karena dalam H berlaku keempat aksioma grup dan H⊂ G maka H subgroup dari G.
Jadi terbukti bahwa “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”.
Dari i) dan ii) diperoleh “ Jika H subgroup dari G, maka ∀ x,y ∈ H berlaku
x oy^(-1)∈H dan “ Jika ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H maka H subgroup dari G”. Jadi terbukti bahwa “H subgroup dari G bila dan hanya bila ∀ x,y ∈ H berlaku x oy^(-1)∈H”.
Buktikan bahwa jika ∀ a∈G dan G suatu grup berlaku a2=u ( u identitas ) maka G merupakan grup abelian.
Jawab :
a∈G a2=u
b∈G b2=u
a,b∈G ( a o b )2=u
( a o b )2 = u o u
a o b o a o b = aa o b2
a o b o a o b = a o a o b o b
a-1 o a o b o a o b = a-1 o a o a o b o b ( operasikan a-1∈G masing-masing di sebelah kiri )
b o a o b = a o b o b
b o a o b o b-1 = a o b o b o b-1 ( operasikan b-1∈G masing-masing di sebelah kanan)
b o a = a o b ( Berlaku komutatif )
Karena berlaku komutatif maka G grup abelian.
Buktikan bahwa jika G suatu grup dan n (G)=3, maka G grup abelian.
Jawab :
Misalkan G= {u, a, b}, n(G)=3
A,b,u∈G dan u identitas.
a o b = a ( Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
a o b = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
a o b = u ( Mungkin, jika a = b-1 atau b=a-1)
b o a = a (Tidak mungkin, karena b bukan identitas )
b o a = b ( Tidak mungkin, karena a bukan identitas )
b o a = u ( Mungkin, jika b=a-1 atau a = b-1)
Dari a o b = u dan b o a = u, maka diperoleh a o b = b o a ( Komutatif )
Terbukti bahwa “ Jika n (G)=3, maka G grup abelian.”
Misal G suatu grup, buktikan bahwa jika H subgroup dari G maka H-1=H ( Keterangan :
H-1={a^(-1)│a∈H}).
Jawab :
Untuk membuktikan H-1=H harus ditunjukan bahwa H-1⊂ H dan H⊂ H-1.
Ambil sebarang X∈ H-1, maka X=a-1 dengan a∈H ( menurut definisi ) karena a∈H dan H subgroup dari G, maka a-1= X∈ H.Jadi jika X∈ H-1 maka X∈ H, hal ini berarti H-1⊂ H...(i)
Ambil sebarang Y∈ H, karena H subgroup dari G maka Y-1∈H, karena Y-1∈H,
maka (Y-1)-1= Y∈ H-1 ( Menurut Definisi ). Jadi jika Y∈ H maka Y∈ H-1,
hal ini berarti H⊂ H-1…..(ii).
Dari (i) dan (ii) diperoleh H-1⊂ H dan H⊂ H-1., hal ini berarti bahwa H-1=H.
Buktikan bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian!
Jawab:
Misalkan G adalah grup siklik dengan generator a. ambil am, an∈ G dan m, n∈ Bilangan bulat.
am o an = am+n
am o an = an+m
am o an = an o am
Jadi terbukti bahwa setiap grup siklik merupakan grup abelian.
Jika G suatu grup, H adalah subgroup dari G. Buktikan bahwa :
Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H.
Bukti :
Dari teorema diatas akan di buktikan :
(i). Jika Ha = H maka a ∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil a ∈ H dan a ∈ G maka u o a = a∈ Ha. a ∈ H dan
Ha = H maka a ∈ H. Terbukti bahwa jika Ha = H maka a ∈ H.
(ii). Jika a ∈ H maka Ha = H.
Untuk menunjukan Ha = H maka harus dibuktikan Ha⊂ H dan H⊂ Ha. Ambil X∈ H maka X=h o a dengan h∈ H. h∈ H, a∈ H dan H subgroup dari G maka h o a = X∈ H.
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ H, hal ini berarti bahwa Ha⊂ H………(*).
Karena a ∈ H dan H⊂G maka a∈G. Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha. Jadi jika a ∈ H maka ∈ Ha, hal ini berarti bahwa H⊂ Ha……..(**).
Dari (*) dan (**) diperoleh Ha⊂ H dan H⊂ Ha sehingga Ha = H.
Terbukti bahwa jika a ∈ H maka Ha = H.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika Ha = H maka a ∈ H” dan “ jika a ∈ H maka Ha = H”. Jadi terbukti bahwa “Ha = H bila dan hanya bila a ∈ H “.
Ha=Hb bila dan hanya bila a o b-1∈ H.
Bukti :
Dari teorima diatas, akan dibuktikan :
(i). Jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
Karena H subgroup dari G, ambil u∈ H dan a∈G maka u o a=a∈ Ha ( menurut definisi )
a∈ Ha dan Ha=Hb maka a∈ Hb ( substitusi )
a∈ Hb maka a= h o b dengan h∈ H ( Definisi )
Dari a= h o b diperoleh :
a o b-1= ( h o b ) o b-1 ( Operasikan dengan b-1 di sebelah kanan ).
a o b-1= h o ( b o b-1) ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
a o b-1= h o u ( Sifat Invers )
a o b-1= h∈ H ( Sifat identitas u ).
Terbukti bahwa “ jika Ha=Hb maka a o b-1∈ H.
(ii). Jika a o b-1∈ H maka Ha=Hb
Misalkan h= a o b-1∈ H, maka a= h o b dan b= h-1 o a. ambil X∈ Ha, maka :
X= h1 o a ( h1∈ H )
= h1 o ( h o b ) ( substitusi a=h o b )
= (h1 o h ) o b ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h2 o b∈ Hb (h1 o h = h2∈ H, untuk h1, h∈ H )
= X∈ Hb ( Menurut definisi )
Jadi jika X∈ Ha maka X∈ Hb, hal ini berarti Ha⊂ Hb…………….(*).
Ambil Y∈ H, maka :
Y = h3 o b (h3∈ H)
= h3 o ( h-1 o a ) ( substitusi b = h-1 o a )
= (h3 o h-1) o a ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= h4 o a∈ Ha (h3 o h-1 = h4∈ H, untuk h3 , h-1∈ Ha )
= Y∈ Ha ( menurut definisi ).
Jadi jika Y∈ Hb maka Y∈ Ha, hal ini berarti Hb⊂ Ha…………………..(**).
Karena Ha⊂ Hb dan Hb⊂ Ha maka Ha =Hb
Terbukti bahwa “Jika a o b-1 ∈H maka Ha =Hb”
Dari (i) dan(ii) diperoleh “Jika Ha =Hb maka a o b-1 ∈H”dan” jika a o b-1 ∈H maka
Ha =Hb”.Jadi terbukti bahwa” Ha =Hb” bila dan hanya bila a o b-1 ∈H”
Bila G suatu grup dan N subgroup normal dalam G.G/N (N’’faktor’’ dari G) adalah himpunan semua koset kanan dari N dalam G.Buktikan bahwaG/N merupakan grup (grup faktor) terhadap operasi perkalian himpunan.
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa G/N merupakan grup, harus diuji masing-masing aksioma grup dalam G/N.
(i). Ambil x,y ∈ G/N ,maka X = Na dan Y = Nb dengan a,b ∈G.
XY= NaNb
= N(aN)b ( Berlaku asosiatif karena N⊂G dan a,b∈G).
= N(Na)b ( Karena N subgroup normal dari G )
= NN (aob)
=N (aob) ( karena N subgroup maka NN=N)
= N (aob) koset kanan dari N dalam G.
Hal iniberarti XY∈ G/N atau perkalian himpunan tertutup dalam G/N.
(ii). Ambil X,Y,Z∈ G/N, maka X= Na, Y=Nb dan Z=Nc dengan a, b, c∈ G.
(XY)Z= (NaNb)Nc
= N(aob)Nc (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[(aob)oc] (operasi perkalian himpunan tertutup dalam G/N)
= N[ao(boc)] ( operasi o dalam G berlaku assosiatif )
= NaN(boc)
=Na(NbNc)
= X(YZ)
Hal ini berarti perkalian himpunan berlaku assosiatif dalam G/N.
(iii).Operasi perkalian himpunan dalam G/N memiliki identitas yaitu Nu=N sebab untuk
X∈ G/N, dengan X=Na dan a∈ G.
XN= NaNu NX= NuNa
= N (aou) = N(uoa)
= Na = Na
= X = X
Sehingga XN=NX=X, hal ini berarti N identitas operasi perkalian himpunan dalam G/N.
(iV). ∀Na∈G/N memiliki invers yaitu Na-1∈G/N, sebab:
NaN a-1=N(ao a-1)=Nu=N
N a-1 Na=N(a-1oa) )=Nu=N
Sehingga diperoleh NaN a-1= N a-1 Na=N
Jadi terbukti bahwa G/N adalah grup factor terhadap operasi perkalian himpunan.
Bila G suatu grup. Buktikan bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Bukti :
(i). Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN
N subgroup normal dalam G maka menurut teorema :
N = aN a-1
Na = aN a-1a ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈G)
Na =aNu ( operasikan masing- masing disebelah kanan dengan a∈X)
Terbukti “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN.
(ii). Jika ∀a∈G, Na=aN maka N subgroup normal dalam G.
Na =aN
Na a-1 = aN a-1 ( operasikan masing- masing di sebelah kanan dengan a-1)
Nu = aNu (
Na = aN
Karena N= aN a-1 maka menurut teorema, N subgroup normal dalam G.
Terbukti jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G.
Dari (i) dan (ii) diperoleh “ Jika N subgroup normal dalam G maka ∀a∈G, Na=aN dan jika ∀a∈G, Na=aN maka N sungrup normal dalam G”
Jadi terbukti bahwa N subgroup normal dalam G bila dan hanya bila ∀a∈G, Na=aN.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupakan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu homomorfisma. Buktikan bahwa jika u elemen identitas dalam G dan f(u)=u’, maka u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’, harus ditunjukan bahwa ∀a’∈G’∋a’*u’=u’*a’=a’
Misalkan a,u∈G dan u identitas dalam G, maka a o u=u o a=a sedangkan f(a)=a’ dan f(u)=u’.
F(a) = f (a o u) ( karena u o a=a )
= f(a) * f(u) ( karena f Homomorfisma )
= a’ * u’
Karena f(a)=a’ dan f(a)=a’ * u’ maka a’ * u’………………………..(1)
F(a) = f(u o a) ( karena u o a=a)
=f(u) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= u’ * a’
Karena f(a)=a’ dan f(a)= u’* a’ maka u’* a’…………………………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀a’ ∈ G’∋a’ * u’=u’ * a’=a’.
Jadi terbukti bahwa u’ merupakan elemen identitas dalam G’.
Misal ( G,0) dan (G’,*) masing- masing merupkan grup, pemetaan f: G G’ merupakan suatu isomorfisma. Buktikan bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Bukti :
Dari teorema diatas akan dibuktikan :
(i). ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= f( b o a ) ( karena ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a)
= f(b) * f(a) ( karena f homomorfisma )
= b’ * a’
Dengan demikian F(a o b) = f(a) * f(b) dan F(a o b) = b’ * a’ sehingga diperoleh a’ * b’= b’ * a’
Terbukti bahwa ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ atau G’ komutatif.
(ii). ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a
Ambil sebarang a,b ∈ G dan f(a)=a’, f(b)=b’, maka :
F(a o b) = f(a) * f(b) ( karena f homomorfisma )
= a’ * b’
= b’ * a’ ( karena ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’)
= f(b) * f(a)
= f( b o a ) ( karena f homomorfisma )
Dengan demikian F(a o b)= f( b o a ). Karena f suatu isomorfisma dimana berlaku fungsi injektif maka a o b= b o a.
Terbukti bahwa ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a atau G komutatif.
Dari (1) dan (2) diperoleh ∀ a,b ∈ G∋ a o b= b o a a’ * b’=b’ * a’ dan ∀ a’,b’ ∈ G'∋ a’ * b’=b’ * a’ a o b= b o a jadi terbukti bahwa G suatu grup komutatif bila dan hanya bila G’ grup komutatif.
Buktikan jika f:G H dan g: H K masing-masing adalah homomorfisma grup, maka komposisi g o f : G K adalah suatu homomorfisma grup.
Bukti :
Ambil a,b ∈ G maka :
( g o f )(ab) = g(f(ab))
= g(f(a).f(b))
= g(f(a)).g(f(b))
= (g o f)(a).(g o f)(b)
Terbukti bahwa komposisi g o f: G K adalah suatu homomorfisma grup.
Untuk sebarang grup G, fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)=u adalah homomorfisma ( u elemen identitas).Buktikan!
Bukti :
f: G G. ambil x, y∈ G maka f(x)=u, f(y)=u
f(xy) = u
= u. u
= f(x). f(y)
Terbukti bahwa f homomorfisma.
Suatu fungsi f: G G di definisikan dengan f(X)= X2 adalah suatu homomorfisma grup bila dan hanya bila G grup abelian.
Bukti :
Jika f: G G dengan f(X)= X2 homomorfisma maka G abelian.
Missal x, y∈ G, f(x)=x2, f(y)= y2
F( x o y) = f(x) o f(y) ( Homomorfisma )
(x o y)2 = x2 o y2
X o y o x o y = x o x o y o y
x-1 o x o y o xo yo y-1 = x-1 o x ox o y o yo y-1
u o y o x o u = u o x o y o u
y o x = x o y
Jika G grup abelian maka f: G G dengan f(x)=x2 homomorfisma.
Missal a, b∈ G, f(a)=a2, f(b)=b2
F(a o b) = ( a o b)2
= a2 o b2
= f(a) o f(b)
Misal G grup bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan G’ suatu grup bilangan real positif dengan operasi perkalian. Dengan menentukan suatu pemetaan f:G G’ tertentu, tunjukkan bahwa G dan G’ isomorfik!
Penyelesaian :
Agar G dan G’ isomorfik maka harus ditunjukkan bahwa f suatu isomorfisma atau homomorfisma yang bijektif.
F : G G’
F : (G,+) (G’,X)
Didefinisikan dengan f(x)=nx , X∈ G, n∈ bilangan real positif.
Ambil x,y∈ G maka f(x)=nx , f(y)=ny
F(x+y) = nx+y
= nx . ny
= f(x) . f(y)
Jadi F homomorfisma.
Akan dibuktikan jika f(x)=F(y) maka x=y
F(x) = f(y)
nx = ny
x = y
Jadi f injektif
Ambil y∈ G’ dan x∈ G
F(x) = y
nx = y
x = nlog y
Karena n∈ bilangan real positif, y∈ bilangan real positif maka x∈ bilangan real
Jadi ∀y∈G’∋ x = nlog y∈ G sehingga f(x)=y maka f surjektif.
Karena f homomorfisma, f injektif, f surjektif ( f homomorfisma yang bijektif ) maka f suatu isomorfisma, karena f memetakan G dengan G’ maka G dan G’ isomorfik.
Senin, 13 Juni 2011
PUISI TERINDAHKU DARINYA
KEKUATAN YANG TIDAK TERBENDUNG
Sebuah kekuatan yang tidak terbendung
Orang- orang seringkali bertanya-tanya
Sebuah kekuatan yang tidak terjinakan
Orang- orang seringkali merasakan
Ternyata dengan tidak disangka- sangka
Kekuatan tersebut sifatnya tidak nyata
Walau seringkali aku tending
Akan tetapi kekuatan itu kembali dengan sendirinya
Kedatangannya tidak pernah diundang
Dating dengan sendirinya tanpa jamuan
Orang- orang seringkali berkata
Walaupun mereka tidak tahu apa makna didalamnya
Sebuah makna yang tidak terbendung dan tidak disangka
Tahukah kamu siapa nama dia sebenarnya??
Seluruh manusia di dunia meneriakannya
Ada yang sambil berduka dengan mencucurkan airmata
Ada yang sambil bergembira dengan meresapi maknanya
Dia adalah seuntai kata yang memiliki julukan
THE HOT OF THE WORD itulah julukan baginya
Saking panasnya dia banyak orang- orang yang menderita
Mereka menderita karena teraniaya olehnya
Setap hari, setiap waktu dia aniaya yang namanya manusia
Sungguh dia tidak tahu aturan dan tatakrama
Akan tetapi tidak ada seseorang yang mampu menghakiminya
BY: GZ's
Sebuah kekuatan yang tidak terbendung
Orang- orang seringkali bertanya-tanya
Sebuah kekuatan yang tidak terjinakan
Orang- orang seringkali merasakan
Ternyata dengan tidak disangka- sangka
Kekuatan tersebut sifatnya tidak nyata
Walau seringkali aku tending
Akan tetapi kekuatan itu kembali dengan sendirinya
Kedatangannya tidak pernah diundang
Dating dengan sendirinya tanpa jamuan
Orang- orang seringkali berkata
Walaupun mereka tidak tahu apa makna didalamnya
Sebuah makna yang tidak terbendung dan tidak disangka
Tahukah kamu siapa nama dia sebenarnya??
Seluruh manusia di dunia meneriakannya
Ada yang sambil berduka dengan mencucurkan airmata
Ada yang sambil bergembira dengan meresapi maknanya
Dia adalah seuntai kata yang memiliki julukan
THE HOT OF THE WORD itulah julukan baginya
Saking panasnya dia banyak orang- orang yang menderita
Mereka menderita karena teraniaya olehnya
Setap hari, setiap waktu dia aniaya yang namanya manusia
Sungguh dia tidak tahu aturan dan tatakrama
Akan tetapi tidak ada seseorang yang mampu menghakiminya
BY: GZ's
SURAT SAHABAT VHY..
mASA SMU emang indah dikenang...
aq punya sahabat yang rutin sekali memberiku surat..yang aq pikir banyak banget nasihat yang diberikannya...dulu...dalam surat itu..dia bilang...
30-03-07
UC
By: SS
Bismillahirrahmaanirrahiim….
Tiada untaian kata yang indah selain alhamdulillah..dan tiada ucapan yang sangat menyelamatkan selain wassolatu wasalamu a'la rosullillah…
Dan tiada kata yang menyejukan selain mendoakan teman- teman muslimin wal muslimat..itulah yang harus diutamakan dalam kehidupan..
Setelah aku membaca rangkaian- rangkaian kata yang terucap darimu..lewat secercah tinta ..ternyata kamu jadi lebih dewasa..tapi aku berharap bukan dalam tulisan saja tapi dalam realita kehidupanmu..Amiin
Dan untaian kata indah ini ( CINTA ) adalah kunci permaslahan,,sebenarnya dengan cinta semua permasalahan akan terselesaikan dengan indah dan mudah..jadi kalau menyelesaikan masalah jangan menggunakan mata luar saja..tapi harus disertai dengan mata yang paling tajam dan menggunakan mata hati..
Jadikanlah cinta sebagai pondasi dalam bergaul..
Belajar dari cinta adalah keindahan yang bisa dijadikan perbekalan.
Mencintai dengan tidak mengharapkan di cintai…
Jadi kalau kita ingin mencintai tanpa sakit hati, kita harus mempunyai prinsip mencintai saja..kebanyakan sekarang para daun- daun muda mengorbankan dirinya hanya untuk dicintai..tatkala daun bunga muda yang ia cintai mmberikan penolakan maka daun muda itu terpujur kaku..hatinya membeku..jiwanya terharu..dan lngkah- langkag nyapun sudah tidak tertuju..kemana aku akan menuju??apa tujuanku??apa langkahku??pertanyaan-pertanyaan demikian tak mampu ia berikan jawaban..harapan yang sudah digenggam ia lemparkan..entah kemana..tujuan yang sudah membeku yang ia simpan dalam tempat yang nyaman,,menjadi cair hingga berhamburan..sungguh..sungguh…..kasihan para daun- daun muda yang demikian…jadi begitulah v3??
Logikanya kita memberi tanpa mengharapkan imbalan,,walaupun orang yang kita beri tidak memberi lagi kepada kita…kita gak akan sakit hati kan..??kareeeeeena kita tidak mengharapkan pemberian( diberi) dari orang yang kita beri..tapi coba kalau sebaliknya?? Maka apa yang akan terjadi?? Jawabannya ada di hati pemirsa..haha
saat aqu...lagi mengenangnya...sahabatku..yang ada di seberang sana entah dimana...
aq punya sahabat yang rutin sekali memberiku surat..yang aq pikir banyak banget nasihat yang diberikannya...dulu...dalam surat itu..dia bilang...
30-03-07
UC
By: SS
Bismillahirrahmaanirrahiim….
Tiada untaian kata yang indah selain alhamdulillah..dan tiada ucapan yang sangat menyelamatkan selain wassolatu wasalamu a'la rosullillah…
Dan tiada kata yang menyejukan selain mendoakan teman- teman muslimin wal muslimat..itulah yang harus diutamakan dalam kehidupan..
Setelah aku membaca rangkaian- rangkaian kata yang terucap darimu..lewat secercah tinta ..ternyata kamu jadi lebih dewasa..tapi aku berharap bukan dalam tulisan saja tapi dalam realita kehidupanmu..Amiin
Dan untaian kata indah ini ( CINTA ) adalah kunci permaslahan,,sebenarnya dengan cinta semua permasalahan akan terselesaikan dengan indah dan mudah..jadi kalau menyelesaikan masalah jangan menggunakan mata luar saja..tapi harus disertai dengan mata yang paling tajam dan menggunakan mata hati..
Jadikanlah cinta sebagai pondasi dalam bergaul..
Belajar dari cinta adalah keindahan yang bisa dijadikan perbekalan.
Mencintai dengan tidak mengharapkan di cintai…
Jadi kalau kita ingin mencintai tanpa sakit hati, kita harus mempunyai prinsip mencintai saja..kebanyakan sekarang para daun- daun muda mengorbankan dirinya hanya untuk dicintai..tatkala daun bunga muda yang ia cintai mmberikan penolakan maka daun muda itu terpujur kaku..hatinya membeku..jiwanya terharu..dan lngkah- langkag nyapun sudah tidak tertuju..kemana aku akan menuju??apa tujuanku??apa langkahku??pertanyaan-pertanyaan demikian tak mampu ia berikan jawaban..harapan yang sudah digenggam ia lemparkan..entah kemana..tujuan yang sudah membeku yang ia simpan dalam tempat yang nyaman,,menjadi cair hingga berhamburan..sungguh..sungguh…..kasihan para daun- daun muda yang demikian…jadi begitulah v3??
Logikanya kita memberi tanpa mengharapkan imbalan,,walaupun orang yang kita beri tidak memberi lagi kepada kita…kita gak akan sakit hati kan..??kareeeeeena kita tidak mengharapkan pemberian( diberi) dari orang yang kita beri..tapi coba kalau sebaliknya?? Maka apa yang akan terjadi?? Jawabannya ada di hati pemirsa..haha
saat aqu...lagi mengenangnya...sahabatku..yang ada di seberang sana entah dimana...
KATA "LUCU"
Heum...lucu sekali dunia ini!!!!
Beuuuh..argumenku tentang dunia ini lucu..ternyata gak disepakati sohibku..katanya apanya yang lucu dengan dunia ini??justru kehidupan ini menjengkelkan, membosankan...begitu katanya...
haha..aqu bilang..emnag apa sih definisi lucu itu???ya aq fikir lucu itu bisa berarti positif bisa juga berarti negatif...ya nggak???
contoh...mmm..lucunya keadaan negara kita...tingkat korupsi di kalangan para pejabat,,makin meningkat,,hah lucu banget!!!padahal mereka para pengurus negri ini??apa jadinya negara ini jika diurus sama para koruptor??hah lucu kan??itu makna lucu yang negatif...
contoh lagi...ih lucu ya...orang itu..ngegemesin...lihat wajahnya cute..menyejukan..bikin kita kagum...lucu banget ih...itu kan beda lagi arti lucu nya..
uwh..jadi lucu itu apa sih??kalo aqu??bisa dibilang lucu gak??yah..terserah deh mendefinisikan lucu itu apa??Up to you..
Beuuuh..argumenku tentang dunia ini lucu..ternyata gak disepakati sohibku..katanya apanya yang lucu dengan dunia ini??justru kehidupan ini menjengkelkan, membosankan...begitu katanya...
haha..aqu bilang..emnag apa sih definisi lucu itu???ya aq fikir lucu itu bisa berarti positif bisa juga berarti negatif...ya nggak???
contoh...mmm..lucunya keadaan negara kita...tingkat korupsi di kalangan para pejabat,,makin meningkat,,hah lucu banget!!!padahal mereka para pengurus negri ini??apa jadinya negara ini jika diurus sama para koruptor??hah lucu kan??itu makna lucu yang negatif...
contoh lagi...ih lucu ya...orang itu..ngegemesin...lihat wajahnya cute..menyejukan..bikin kita kagum...lucu banget ih...itu kan beda lagi arti lucu nya..
uwh..jadi lucu itu apa sih??kalo aqu??bisa dibilang lucu gak??yah..terserah deh mendefinisikan lucu itu apa??Up to you..
Rabu, 01 September 2010
lucunya...katanya...sosok ikhwan
lucu bgt ketika lihat puisi yang sumbernya dari: www.edjaa.blogspot.com
q jadi tertawa sendiri jika mengingatnya...bener bgt dengan apa yang q lihat...hehe
Ikhwan….oh…. ikhwan
walopun gk begitu rupawan
alias modal tampang pas-pasan
tapi, tetep aza tebar senyuman
oh….ikhwan….
Gayanya sih bisa ditebak dan keliatan
jenggot melambai, baju koko ‘n celana goyang murahan
sesekali komat-kamit sambil jalan ( maksoed’a zikir )
oh…ikhwan…..
Nyarinya susah-susah gampang
kadang di masjid,mushola, kampus or sekolahan
mungkin juga lagi nyari sampingan
buat biaya walimahan ( he…he..he….21x )
oh…ikhwan…
anehnya kalo lagi jalan
ngukurin tanah apa nyari’ koin wan ???
ooo….ternyata jaga pandangan….
ikhwan….ikhwan…..
lucunya kalo akhwat sedang berpapasan
langsung minggir, acuh tak acuh kayak musuhan
( gubrak…!!! ) appan tuh wan ??
eh..eh.. ternyata dia jatuh,, kagak liat ada selokan !
oh…….ikhwan
apa semuanya begitu wan..???
ada gak sih ikhwan yang jelalatan…???
boleh gak sih “Tepe-Tepe” ke akhwat wan ???
kan dah dibilang murabbi dalam liqo’an !!
Yang bukan ikhwan,,pasti kagak ditunggu malaikat ridwan
yang bukan ikhwan gampang bgt didapatkan
tapi,,kalo ikhwan,,,yang tebal iman,,,dicari butuh tantangan..
karena ikhwan,, nggak doyan perempuan
melainkan lebih milih akhwat sebagai pasangan,,,
q jadi tertawa sendiri jika mengingatnya...bener bgt dengan apa yang q lihat...hehe
Ikhwan….oh…. ikhwan
walopun gk begitu rupawan
alias modal tampang pas-pasan
tapi, tetep aza tebar senyuman
oh….ikhwan….
Gayanya sih bisa ditebak dan keliatan
jenggot melambai, baju koko ‘n celana goyang murahan
sesekali komat-kamit sambil jalan ( maksoed’a zikir )
oh…ikhwan…..
Nyarinya susah-susah gampang
kadang di masjid,mushola, kampus or sekolahan
mungkin juga lagi nyari sampingan
buat biaya walimahan ( he…he..he….21x )
oh…ikhwan…
anehnya kalo lagi jalan
ngukurin tanah apa nyari’ koin wan ???
ooo….ternyata jaga pandangan….
ikhwan….ikhwan…..
lucunya kalo akhwat sedang berpapasan
langsung minggir, acuh tak acuh kayak musuhan
( gubrak…!!! ) appan tuh wan ??
eh..eh.. ternyata dia jatuh,, kagak liat ada selokan !
oh…….ikhwan
apa semuanya begitu wan..???
ada gak sih ikhwan yang jelalatan…???
boleh gak sih “Tepe-Tepe” ke akhwat wan ???
kan dah dibilang murabbi dalam liqo’an !!
Yang bukan ikhwan,,pasti kagak ditunggu malaikat ridwan
yang bukan ikhwan gampang bgt didapatkan
tapi,,kalo ikhwan,,,yang tebal iman,,,dicari butuh tantangan..
karena ikhwan,, nggak doyan perempuan
melainkan lebih milih akhwat sebagai pasangan,,,
Selasa, 31 Agustus 2010
aku cinta puisi para akhwat
ketika kubaca sebuah puisi karya seorang ikwwan yang aku temukan di http://www.kemudian.com/node/93953...mmmh luar biasa...indahnya...
Akhwat Oh Akhwat
Dibalik jilbab yang tertutup rapat
Terpancar sinar saat kau lewat
Akhwat Oh Akhwat
Walau hanya wajah dan telapak tanganmu yang nampak
Tapi hati ini begitu terpikat
Akhwat Oh Akhwat
Hati ini senang saat kau berikan senyuman
Walaupun hanya senyum sapaan
Akhwat Oh Akhwat
Disaat wanita lain bergaya barat
Justru engkau menutup aurat
Akhwat Oh Akhwat
Cobaanmu begitu berat
Tapi hatimu begitu kuat
Akhwat Oh Akhwat
Diriku salut padamu dan kudoakan untukmu
Semoga engkau selamat dunia dan akhirat
Amiin
Akhwat Oh Akhwat
Dibalik jilbab yang tertutup rapat
Terpancar sinar saat kau lewat
Akhwat Oh Akhwat
Walau hanya wajah dan telapak tanganmu yang nampak
Tapi hati ini begitu terpikat
Akhwat Oh Akhwat
Hati ini senang saat kau berikan senyuman
Walaupun hanya senyum sapaan
Akhwat Oh Akhwat
Disaat wanita lain bergaya barat
Justru engkau menutup aurat
Akhwat Oh Akhwat
Cobaanmu begitu berat
Tapi hatimu begitu kuat
Akhwat Oh Akhwat
Diriku salut padamu dan kudoakan untukmu
Semoga engkau selamat dunia dan akhirat
Amiin
Langganan:
Postingan (Atom)